微分積分例

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) - (\sin (x) + \cos (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6

掛け算します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 1 (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 6.2

$\sin (x) + \cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.3.1.1

$\cos (x) (- \sin (x))$ と $\cos (x) \sin (x)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.1.2

$- \cos (x) \sin (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x) + 0}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.1.3

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.3.2.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.2

$\sin (x) \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.3.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 7.4

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$\sec^{2} (x)$

微分積分 例

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