微分積分例

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{5 x}$ および $g (x) = x^{15}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{15})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 4.3.2

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

ステップ 4.4

$n = 15$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

ステップ 4.5

$15$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

ステップ 5.1.2

$5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

ステップ 5.2

項を並べ替えます。

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

ステップ 5.3

$5 e^{5 x} x^{14}$ を $5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$5 e^{5 x} x^{14}$ を $5 e^{5 x} x^{15}$ で因数分解します。

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

ステップ 5.3.2

$5 e^{5 x} x^{14}$ を $- 15 e^{5 x} x^{14}$ で因数分解します。

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

ステップ 5.3.3

$5 e^{5 x} x^{14}$ を $5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

ステップ 5.4

$x^{14}$ と $x^{30}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$x^{14}$ を $5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ で因数分解します。

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$x^{14}$ を $x^{30}$ で因数分解します。

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

ステップ 5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$

微分積分 例

微分積分例