微分積分例

$(x - 1) {(x^{2} + 2)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = {(x^{2} + 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{3}] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 2$ とします。

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 2$ で置き換えます。

$(x - 1) (3 {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3$ を $x - 1$ の左に移動させます。

$3 \cdot (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x + 0) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} (2 x) + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 3.6

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} (1 + 0)$

ステップ 3.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3} \cdot 1$

ステップ 3.9.2

${(x^{2} + 2)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$6 (x - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(6 x + 6 \cdot - 1) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

ステップ 4.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$

ステップ 4.3

${(x^{2} + 2)}^{2}$ を $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x + {(x^{2} + 2)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

${(x^{2} + 2)}^{2}$ を $(6 x - 6) {(x^{2} + 2)}^{2} x$ で因数分解します。

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{3}$

ステップ 4.3.2

${(x^{2} + 2)}^{2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{3}$ で因数分解します。

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$

ステップ 4.3.3

${(x^{2} + 2)}^{2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x) + {(x^{2} + 2)}^{2} (x^{2} + 2)$ で因数分解します。

${(x^{2} + 2)}^{2} ((6 x - 6) x + x^{2} + 2)$

微分積分 例

微分積分例