微分積分例

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{t \to 2} t^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $t^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - lim_{t \to 2} 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.1.3

$t$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{t \to 2} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.2.3.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - 8}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1.1

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{t \to 2} t^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

ステップ 1.1.3.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $t^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - lim_{t \to 2} 8}$

ステップ 1.1.3.1.3

$t$ が $2$ に近づくと定数である $8$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} t)}^{3} - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.1.3.2

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{3} - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{0}{8 - 8}$

ステップ 1.1.3.3.2

$8$ から $8$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{t \to 2} \frac{t^{2} - 4}{t^{3} - 8} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2} - 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $t^{2} - 4$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + \frac{d}{d t} [- 4]}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3.4

$- 4$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t + 0}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3.5

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3} - 8]}$

ステップ 1.3.6

総和則では、 $t^{3} - 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 8]}$

ステップ 1.3.7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 8]}$

ステップ 1.3.8

$- 8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2} + 0}$

ステップ 1.3.9

$3 t^{2}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{t \to 2} \frac{2 t}{3 t^{2}}$

ステップ 1.4

$t$ と $t^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.1

$t$ を $2 t$ で因数分解します。

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{3 t^{2}}$

ステップ 1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.1

$t$ を $3 t^{2}$ で因数分解します。

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

ステップ 1.4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{t \to 2} \frac{t \cdot 2}{t (3 t)}$

ステップ 1.4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{t \to 2} \frac{2}{3 t}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2}{3}$ の項は $t$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{3} lim_{t \to 2} \frac{1}{t}$

ステップ 2.2

$t$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{t \to 2} 1}{lim_{t \to 2} t}$

ステップ 2.3

$t$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 2} t}$

ステップ 3

$t$ を $2$ に代入し、 $t$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{3}$

10進法形式：

$0.\overline{3}$

微分積分 例

微分積分例