微分積分例

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

ステップ 1

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 72$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $6 x^{2} + 6 x - 72$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 72)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 72$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 72$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

ステップ 3.4.2

$12 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x + 6$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 72 x]$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 72 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 72 x$ の微分係数は $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

ステップ 5.1.4.3

$- 72$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 6 x - 72$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 72$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 6 x - 72$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x - 72 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 72 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$6$ を $- 72$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 12 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x - 12) = 0$

ステップ 6.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 12$ で、その和が $1$ です。

$- 3, 4$

ステップ 6.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

ステップ 6.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 6.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6.6

最終解は $6 (x - 3) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 4$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 3, - 4$

ステップ 9

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (3) + 6$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$12$ に $3$ をかけます。

$36 + 6$

ステップ 10.2

$36$ と $6$ をたし算します。

$42$

ステップ 11

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 12

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = 2 {(3)}^{3} + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 2 \cdot 27 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.2

$2$ に $27$ をかけます。

$f (3) = 54 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.3

指数を足して $3$ に ${(3)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.3.1

$3$ に ${(3)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.3.1.1

$3$ を $1$ 乗します。

$f (3) = 54 + 3 {(3)}^{2} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (3) = 54 + 3^{1 + 2} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f (3) = 54 + 3^{3} - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$f (3) = 54 + 27 - 72 \cdot 3$

ステップ 12.2.1.5

$- 72$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 54 + 27 - 216$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$54$ と $27$ をたし算します。

$f (3) = 81 - 216$

ステップ 12.2.2.2

$81$ から $216$ を引きます。

$f (3) = - 135$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- 135$ です。

$y = - 135$

ステップ 13

$x = - 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (- 4) + 6$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$12$ に $- 4$ をかけます。

$- 48 + 6$

ステップ 14.2

$- 48$ と $6$ をたし算します。

$- 42$

ステップ 15

$x = - 4$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 4$ は極大値です

ステップ 16

$x = - 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

ステップ 16.2.1.2

$2$ に $- 64$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 + 3 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

ステップ 16.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4) = - 128 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot - 4$

ステップ 16.2.1.4

$3$ に $16$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 + 48 - 72 \cdot - 4$

ステップ 16.2.1.5

$- 72$ に $- 4$ をかけます。

$f (- 4) = - 128 + 48 + 288$

ステップ 16.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$- 128$ と $48$ をたし算します。

$f (- 4) = - 80 + 288$

ステップ 16.2.2.2

$- 80$ と $288$ をたし算します。

$f (- 4) = 208$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $208$ です。

$y = 208$

ステップ 17

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ の極値です。

$(3, - 135)$ は極小値です

$(- 4, 208)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例