微分積分例

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 1.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 1.4

項を並べ替えます。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x} \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

ステップ 2.2.3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

ステップ 2.2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

ステップ 2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$e^{x}$ と $- 1$ を並べ替えます。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 2.4.2.2

$- 1 e^{x}$ を $- e^{x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 2.4.2.3

$- e^{x} \sin (x)$ から $e^{x} \sin (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

ステップ 2.4.2.4

$- e^{x} \cos (x)$ と $\cos (x) e^{x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

$\cos (x)$ と $e^{x}$ を並べ替えます。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

ステップ 2.4.2.4.2

$- e^{x} \cos (x)$ と $e^{x} \cos (x)$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

ステップ 2.4.2.5

$- 2 e^{x} \sin (x)$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

ステップ 4

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 4.1

$e^{x}$ を $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$e^{x}$ を $- e^{x} \sin (x)$ で因数分解します。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

ステップ 4.1.2

$e^{x}$ を $e^{x} \cos (x)$ で因数分解します。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

ステップ 4.1.3

$e^{x}$ を $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ で因数分解します。

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

ステップ 4.2

$- 1 \sin (x)$ を $- \sin (x)$ に書き換えます。

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 6

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 7

$- \sin (x) + \cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$- \sin (x) + \cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.2

分数を分解します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.5

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.5.1

共通因数を約分します。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.5.2

式を書き換えます。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.6

分数を分解します。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 7.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 7.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

ステップ 7.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$- \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 7.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 7.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 7.2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 7.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 7.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 7.2.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 7.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 7.2.16

方程式 $x = \frac{π}{4}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

ステップ 8

最終解は $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

ステップ 9

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$2$ を $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ で因数分解します。

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 10.2.3

式を書き換えます。

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 12.2.2

$e^{\frac{π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 13

$x = \frac{5 π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 14.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 14.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.3.1

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.3.2

$2$ を $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ で因数分解します。

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.3.3

共通因数を約分します。

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

ステップ 14.3.4

式を書き換えます。

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

ステップ 14.4

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

ステップ 14.4.2

$e^{\frac{5 π}{4}}$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

ステップ 15

$x = \frac{5 π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{5 π}{4}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{5 π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{5 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

ステップ 16.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 16.2.3

$e^{\frac{5 π}{4}}$ と $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 16.2.4

最終的な答えは $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ です。

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 17

$f (x) = e^{x} \cos (x)$ の極値です。

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ は極大値です

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例