微分積分例

$f (x) = \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 2

分数の逆数を掛け、 $\frac{x + 1}{x - 1}$ で割ります。

$1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 4

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8

分数をまとめます。

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ステップ 5.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 5.8.3

$\frac{x - 1}{x + 1}$ に $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$x - 1$ を $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$x - 1 - x - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.2.3

$- 1$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 7.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$

微分積分 例

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