微分積分例

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{e^{x} + 1}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

微分積分 例