微分積分例

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (y) = y - 1$ および $g (y) = y^{2} - y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$y^{2} - y + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $y^{2} - y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$2 y - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y + 1) (2 y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.4

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.5

$2 y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.3.2

$y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2.2

$y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.4

$- y$ と $3 y$ をたし算します。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

$y$ を $- y^{2} + 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.3.3

$y$ を $y (- y) + y \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.5

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.6

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.7

$- (y - 2)$ を $- 1 (y - 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (y) = - 1$ および $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.2

$f (y) = y (y - 2)$ および $g (y) = {(y^{2} - y + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.3

${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.4

$f (y) = y$ および $g (y) = y - 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ は $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $y - 2$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ です。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.3

$- 2$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.6

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.6.1

$y - 2$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.5.6.2

$y$ と $y$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.6

$f (y) = y^{2}$ および $g (y) = y^{2} - y + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2} - y + 1$ とします。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.6.3

$u$ のすべての発生を $y^{2} - y + 1$ で置き換えます。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.7

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.7.2

$y^{2} - y + 1$ を ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1

$y^{2} - y + 1$ を ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.7.2.2

$y^{2} - y + 1$ を $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.7.2.3

$y^{2} - y + 1$ を $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.8

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$y^{2} - y + 1$ を ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.8.2

共通因数を約分します。

ステップ 2.8.3

式を書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.9

総和則では、 $y^{2} - y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.11

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.14

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.15

$2 y - 1$ と $0$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

ステップ 2.16

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.17

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

ステップ 2.17.2

$- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

分配則を当てはめます。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ を展開します。

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.2

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.2.2.1

$y$ を移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.2.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.2.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.3

$- 2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.2.5.1

$y$ を移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.7

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.8

$2 y$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.2.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.3

$- 2 y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.4

$2 y$ と $2 y$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.5.1

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.5.1.1

$y$ を移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.5.1.2

$y$ に $y$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.5.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.2

指数を足して $y^{2}$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.7.1.2.1

$y$ を移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.2.2

$y$ に $y^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.7.1.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.6

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.1.7.1.6.1

$y$ を移動させます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.6.2

$y$ に $y$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.7

$4$ に $2$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.1.8

$- 1$ に $4$ をかけます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.1.7.2

$2 y^{2}$ と $8 y^{2}$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.2

$2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.2.2.1

$4 y$ から $4 y$ を引きます。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.2.2

$2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.3

$2 y^{3}$ から $4 y^{3}$ を引きます。

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.2.4

$- 4 y^{2}$ と $10 y^{2}$ をたし算します。

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.3

$2$ を $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.3.1

$2$ を $- 2 y^{3}$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.2

$2$ を $6 y^{2}$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.4

$2$ を $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.3.5

$2$ を $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.4

$- 1$ を $- y^{3}$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.5

$- 1$ を $3 y^{2}$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.6

$- 1$ を $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.8

$- 1$ を $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.9

$- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ を $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ に書き換えます。

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.10

分数の前に負数を移動させます。

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 2.18.11

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

ステップ 2.18.12

$\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $y - 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.4.2

$y^{2} - y + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.5

総和則では、 $y^{2} - y + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.10

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.2.11

$2 y - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y + 1) (2 y - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.4

$- y \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.4.2

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.5

$2 y$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.1.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.1.3.2

$y$ と $2 y$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.2

$y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.2.2

$y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ と $0$ をたし算します。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.3

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.2.4

$- y$ と $3 y$ をたし算します。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3

$y$ を $- y^{2} + 2 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.2

$y$ を $2 y$ で因数分解します。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.3.3

$y$ を $y (- y) + y \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.5

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.6

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.7

$- (y - 2)$ を $- 1 (y - 2)$ に書き換えます。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

$y$ に関する $g (y)$ の一次導関数は $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$y (y - 2) = 0$

ステップ 5.3

$y$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y = 0$

$y - 2 = 0$

ステップ 5.3.2

$y$ が $0$ に等しいとします。

$y = 0$

ステップ 5.3.3

$y - 2$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$y - 2$ が $0$ に等しいとします。

$y - 2 = 0$

ステップ 5.3.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$y = 2$

ステップ 5.3.4

最終解は $y (y - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$y = 0, 2$

ステップ 8

$y = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.1.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.1.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

ステップ 9.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

ステップ 9.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{1}$

ステップ 9.3.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2$

ステップ 10

$y = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$y = 0$ は極小値です

ステップ 11

$y = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ から $1$ を引きます。

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

ステップ 11.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

ステップ 11.2.2.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

ステップ 11.2.2.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$g (0) = - 1$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 12

$y = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.1.3

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.1.4

$8$ から $12$ を引きます。

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.1.5

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

ステップ 13.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

ステップ 13.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

ステップ 13.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- 6}{27}$

ステップ 13.3.2

$- 6$ と $27$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.2.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 2)}{27}$

ステップ 13.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.2.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

ステップ 13.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

ステップ 13.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{9}$

ステップ 13.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{9}$

ステップ 14

$y = 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$y = 2$ は極大値です

ステップ 15

$y = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $y$ を $2$ で置換えます。

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

ステップ 15.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

ステップ 15.2.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

ステップ 15.2.2.3

$4$ から $2$ を引きます。

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

ステップ 15.2.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$g (2) = \frac{1}{3}$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{3}$ です。

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 16

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ の極値です。

$(0, - 1)$ は極小値です

$(2, \frac{1}{3})$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例