微分積分例

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

ステップ 1

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 2.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} - 4 x + 3 + 0$

ステップ 2.5.2

$x^{2} - 4 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

ステップ 3.3.2

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x - 4$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

ステップ 5.1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

ステップ 5.1.5.2

$x^{2} - 4 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 4 x + 3$ です。

$x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

ステップ 6.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 6.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) (x - 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 6.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 6.6

最終解は $(x - 3) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 3, 1$

ステップ 9

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (3) - 4$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 - 4$

ステップ 10.2

$6$ から $4$ を引きます。

$2$

ステップ 11

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 12

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1.1

$3$ を ${(3)}^{3}$ で因数分解します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (3) = 3^{2} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = 9 - 2 \cdot 9 + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.4

$- 2$ に $9$ をかけます。

$f (3) = 9 - 18 + 3 (3) + 2$

ステップ 12.2.1.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f (3) = 9 - 18 + 9 + 2$

ステップ 12.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.2.1

$9$ から $18$ を引きます。

$f (3) = - 9 + 9 + 2$

ステップ 12.2.2.2

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (3) = 0 + 2$

ステップ 12.2.2.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$f (3) = 2$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 13

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 (1) - 4$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 4$

ステップ 14.2

$2$ から $4$ を引きます。

$- 2$

ステップ 15

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 16

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

ステップ 16.2.1.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

ステップ 16.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 3 (1) + 2$

ステップ 16.2.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 (1) + 2$

ステップ 16.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 2$

ステップ 16.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$- 2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 3 + 2$

ステップ 16.2.2.2

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 + 2$

ステップ 16.2.2.3

$\frac{- 2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 3 + 2$

ステップ 16.2.2.4

$3$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} + 2$

ステップ 16.2.2.5

$\frac{3}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

ステップ 16.2.2.6

$\frac{3}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 2$

ステップ 16.2.2.7

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

ステップ 16.2.2.8

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 16.2.2.9

$\frac{2}{1}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

ステップ 16.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 16.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.4.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 16.2.4.2

$3$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 + 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 16.2.4.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 + 6}{3}$

ステップ 16.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.5.1

$1$ から $6$ を引きます。

$f (1) = \frac{- 5 + 9 + 6}{3}$

ステップ 16.2.5.2

$- 5$ と $9$ をたし算します。

$f (1) = \frac{4 + 6}{3}$

ステップ 16.2.5.3

$4$ と $6$ をたし算します。

$f (1) = \frac{10}{3}$

ステップ 16.2.6

最終的な答えは $\frac{10}{3}$ です。

$y = \frac{10}{3}$

ステップ 17

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ の極値です。

$(3, 2)$ は極小値です

$(1, \frac{10}{3})$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例