微分積分例

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 1 - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + 1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sin (x)) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$- \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$- \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 9.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{- \sin (x) + 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.3

$- \sin (x) + 1$ と ${(1 - \sin (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

項を並べ替えます。

$\frac{1 - \sin (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.3.2

$1$ を掛けます。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 9.3.3

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

$1 - \sin (x)$ を ${(1 - \sin (x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 9.3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cdot 1}{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

ステップ 9.3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

微分積分 例

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