微分積分例

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ を $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ に書き換えます。

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$\tan (2 x) \tan (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1.1

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.1.2

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.2

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

$\tan (2 x)$ と $\cot (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.2.2

正弦と余弦に関して $\tan (2 x) \cot (2 x)$ を書き換えます。

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.3

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

正弦と余弦に関して $\cot (2 x) \tan (2 x)$ を書き換えます。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.3.2

共通因数を約分します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.4

$\cot (2 x) \cot (2 x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.4.1

$\cot (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.4.2

$\cot (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

ステップ 1.3.1.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

ステップ 1.3.1.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 3

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 4

$\tan^{2} (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (u_{1})$ を $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 9

$\tan (u_{1})$ の微分係数が $\sec^{2} (u_{1})$ なので、 $\sec^{2} (u_{1})$ の積分は $\tan (u_{1})$ です。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

ステップ 11

$u_{2} = 2 x$ とします。次に $d u_{2} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{2} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 11.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 11.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 12

$\cot^{2} (u_{2})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 14

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\cot^{2} (u_{2})$ を $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 15

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 16

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 17

$- \cot (u_{2})$ の微分係数が $\csc^{2} (u_{2})$ なので、 $\csc^{2} (u_{2})$ の積分は $- \cot (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

ステップ 18

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

簡約します。

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

ステップ 18.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

ステップ 18.2.2

$\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 18.2.3

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

ステップ 18.2.4

$2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

ステップ 18.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 18.2.5.1

共通因数を約分します。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

ステップ 18.2.5.2

式を書き換えます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

ステップ 18.2.6

$- u_{2} - \cot (u_{2})$ に $1$ をかけます。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

ステップ 19

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

ステップ 19.2

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{2 x}{2}$ を約分します。

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ステップ 20.1.1

共通因数を約分します。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 20.1.2

式を書き換えます。

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 20.2

$x$ を $1$ で割ります。

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 20.3

$- x$ と $2 x$ をたし算します。

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 20.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

ステップ 21

項を並べ替えます。

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$

微分積分 例

微分積分例