微分積分例

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{9}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x^{9}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{9}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.2

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 9 u^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x + 0)$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 1)}^{8} (2 x)$

ステップ 1.2.4.2

$2$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$

ステップ 1.2.4.3

$18 {(x^{2} + 1)}^{8} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x {(x^{2} + 1)}^{8}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{8}]$ です。

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{8})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{8}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{8}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f'' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u} (u^{8}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 18 (x (8 u^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 (x (8 {(x^{2} + 1)}^{7} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$f'' (x) = 18 (x (16 {(x^{2} + 1)}^{7} x) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 18 (x \cdot x (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 18 (x^{1 + 1} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8} \cdot 1)$

ステップ 2.10

${(x^{2} + 1)}^{8}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7}) + {(x^{2} + 1)}^{8})$

ステップ 2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 18 (x^{2} (16 {(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

ステップ 2.11.2

$16$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = 288 (x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{7})) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

ステップ 2.11.3

$18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ を $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7} + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.3.1

$18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ を $288 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{7}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{8}$

ステップ 2.11.3.2

$18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ を $18 {(x^{2} + 1)}^{8}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.11.3.3

$18 {(x^{2} + 1)}^{7}$ を $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2}) + 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (16 x^{2} + x^{2} + 1)$

ステップ 2.11.4

$16 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 {(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1)]$ です。

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 x^{2} + 1))$

ステップ 3.2

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{7}$ および $g (x) = 17 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} (17 x^{2} + 1) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

総和則では、 $17 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (\frac{d}{d x} (17 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.2

$17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $17 x^{2}$ の微分係数は $17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (17 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.4

$2$ に $17$ をかけます。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x + \frac{d}{d x} (1)) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x + 0) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.6.1

$34 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 18 ({(x^{2} + 1)}^{7} (34 x) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.3.6.2

$34$ を ${(x^{2} + 1)}^{7}$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 18 (34 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{7} x) + (17 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{7}))$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

ステップ 3.4.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

ステップ 3.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (17 x^{2} + 1) (7 {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))$

ステップ 3.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$7$ を $17 x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 \cdot ((17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))$

ステップ 3.5.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))$

ステップ 3.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (1)))$

ステップ 3.5.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x + 0))$

ステップ 3.5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 7 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} (2 x))$

ステップ 3.5.5.2

$2$ に $7$ をかけます。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 14 (17 x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x + (14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6.2

分配則を当てはめます。

$f''' (x) = 18 (34 {(x^{2} + 1)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6.3

$34$ に $18$ をかけます。

$f''' (x) = 612 ({(x^{2} + 1)}^{7} x) + 18 ((14 (17 x^{2}) + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6.4

$17$ に $14$ をかけます。

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6.5

$14$ に $1$ をかけます。

$f''' (x) = 612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 ((238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x)$

ステップ 3.6.6

$18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ を $612 {(x^{2} + 1)}^{7} x + 18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.6.1

$18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ を $612 {(x^{2} + 1)}^{7} x$ で因数分解します。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$

ステップ 3.6.6.2

$18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ を $18 (238 x^{2} + 14) {(x^{2} + 1)}^{6} x$ で因数分解します。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (238 x^{2} + 14)$

ステップ 3.6.6.3

$18 {(x^{2} + 1)}^{6} x$ を $18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1)) + 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (238 x^{2} + 14)$ で因数分解します。

$f''' (x) = 18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$

ステップ 3.6.7

$18 {(x^{2} + 1)}^{6} x (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$ の因数を並べ替えます。

$f''' (x) = 18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 (x^{2} + 1) + 238 x^{2} + 14)$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

分配則を当てはめます。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 x^{2} + 34 \cdot 1 + 238 x^{2} + 14))$

ステップ 4.1.1.2

$34$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (34 x^{2} + 34 + 238 x^{2} + 14))$

ステップ 4.1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$34 x^{2}$ と $238 x^{2}$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 34 + 14))$

ステップ 4.1.2.2

$34$ と $14$ をたし算します。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48))$

ステップ 4.1.3

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48)$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48)]$ です。

$f^{4} (x) = 18 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 x^{2} + 48))$

ステップ 4.2

$f (x) = x {(x^{2} + 1)}^{6}$ および $g (x) = 272 x^{2} + 48$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (272 x^{2} + 48) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

総和則では、 $272 x^{2} + 48$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [272 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48]$ です。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (272 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3.2

$272$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $272 x^{2}$ の微分係数は $272 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (272 (2 x) + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3.4

$2$ に $272$ をかけます。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x + \frac{d}{d x} (48)) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3.5

$48$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $48$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x + 0) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.3.6

$544 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 18 (x {(x^{2} + 1)}^{6} (544 x) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 18 (x \cdot x {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 18 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.7

式を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 18 (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 544 + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.7.2

$544$ を $x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}$ の左に移動させます。

$f^{4} (x) = 18 (544 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6}) + (272 x^{2} + 48) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 4.8

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{6}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.9

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.9.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.9.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.10

微分します。

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ステップ 4.10.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.10.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (1))) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.10.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.10.4

式を簡約します。

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ステップ 4.10.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (6 {(x^{2} + 1)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.10.4.2

$2$ に $6$ をかけます。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x (12 {(x^{2} + 1)}^{5} x) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.11

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.12

$x$ を $1$ 乗します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x \cdot x (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.13

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.14

$1$ と $1$ をたし算します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 4.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6} \cdot 1))$

ステップ 4.16

${(x^{2} + 1)}^{6}$ に $1$ をかけます。

$f^{4} (x) = 18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$

ステップ 5

$x$ に関する $f (x)$ の四次導関数は $18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$ です。

$18 (544 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{6} + (272 x^{2} + 48) (x^{2} (12 {(x^{2} + 1)}^{5}) + {(x^{2} + 1)}^{6}))$

微分積分 例

微分積分例