微分積分例

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 5 x$ とします。次に $d u_{1} = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 5 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$5 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 1.1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

ステップ 2

$\sec^{4} (u_{1})$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

ステップ 4.2

${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (u_{1})$ を $1 + \tan^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$\tan (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

ステップ 6.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1})$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

ステップ 10

簡約します。

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

ステップ 11

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 11.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

ステップ 11.2

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{3}$ と $\tan^{3} (5 x)$ をまとめます。

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

ステップ 12.3

$\frac{1}{5}$ と $\tan (5 x)$ をまとめます。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

ステップ 12.4

まとめる。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 12.5

各項を簡約します。

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ステップ 12.5.1

$\tan^{3} (5 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

ステップ 12.5.2

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$

微分積分 例

微分積分例