微分積分例

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

ステップ 1

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$\cot^{3} (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

ステップ 4

換算公式を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

ステップ 5

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

ステップ 6

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ を $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\cot^{2} (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

正弦と余弦に関して $\cot (2 x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| \sin (2 x) |)$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5

各項を簡約します。

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ステップ 8.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5.2

まとめる。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5.3

$\cos^{2} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5.4

$2$ を $\sin^{2} (2 x)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5.5

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ を掛けます。

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ステップ 8.5.5.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ をかけます。

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.5.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6

各項を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$1$ を掛けます。

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6.2

$1$ を掛けます。

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6.3

分数を分解します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6.4

$\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ を $\cot^{2} (2 x)$ に変換します。

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6.5

$4$ に $1$ をかけます。

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 8.6.6

$\frac{1}{4}$ と $\cot^{2} (2 x)$ をまとめます。

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

ステップ 9

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$

微分積分 例

微分積分例