微分積分例

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x + 9$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x + 9$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$3 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3$ と $0$ をたし算します。

$3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

$e^{\sqrt{u_{1}}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ すると、 $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 5

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 6

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 7

$w = u_{2}$ と $dv = e^{u_{2}}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 8

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\sqrt{u_{1}}$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x + 9$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

ステップ 11.2

$3$ を $3 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 11.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

ステップ 11.2.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

ステップ 11.2.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

ステップ 11.3

$3$ を $3 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 11.3.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

ステップ 11.3.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

ステップ 11.3.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4

各項を簡約します。

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ステップ 11.4.1

$3$ を $3 x + 9$ で因数分解します。

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ステップ 11.4.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.1.2

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.2

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ を掛けます。

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ステップ 11.4.2.1

$\sqrt{3 (x + 3)}$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.2.2

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ と $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.3

$2$ を $\sqrt{3 (x + 3)}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

ステップ 11.4.4

$\frac{2}{3}$ と $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

ステップ 11.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

ステップ 11.6

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ を $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ で因数分解します。

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ステップ 11.6.1

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ を $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

ステップ 11.6.2

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ を $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

ステップ 11.6.3

$2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ を $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$

微分積分 例

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