微分積分例

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$

ステップ 1

$e^{x}$ と $\sin (4 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (4 x) e^{x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (4 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (4 x) e^{x} - \int e^{x} (4 \cos (4 x)) d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$\sin (4 x) e^{x} - (4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int e^{x} (\cos (4 x)) d x$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $\cos (4 x)$ を並べ替えます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 \int \cos (4 x) e^{x} d x$

ステップ 5

$u = \cos (4 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - \int e^{x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

ステップ 6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} - (- 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x))$

ステップ 7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x} + 4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 4 (4 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x)$

ステップ 7.3

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x}) - 16 \int e^{x} (\sin (4 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{x} \sin (4 x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17}$ であることが分かります。

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 (\cos (4 x) e^{x})}{17} + C$

ステップ 9

$\frac{\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}}{17} + C$ を $\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{17} (\sin (4 x) e^{x} - 4 \cos (4 x) e^{x}) + C$

微分積分 例