微分積分例

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$

ステップ 1

$e^{- 3 x}$ と $\sin (5 x)$ を並べ替えます。

$\int \sin (5 x) e^{- 3 x} d x$

ステップ 2

$u = \sin (5 x)$ と $d v = e^{- 3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (5 \cos (5 x)) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3} \cdot 5$ を積分の外に移動させます。

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\sin (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.2

$\sin (5 x)$ と $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.3

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.4

$- 5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

ステップ 4.5

$e^{- 3 x}$ と $\cos (5 x)$ を並べ替えます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int \cos (5 x) e^{- 3 x} d x)$

ステップ 5

$u = \cos (5 x)$ と $d v = e^{- 3 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

ステップ 6

$- \frac{1}{3} \cdot - 5$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$e^{- 3 x}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.2

$\cos (5 x)$ と $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.3

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.4

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.6

掛け算します。

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ステップ 7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 5}{3}) \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.6.2

$\frac{- 5}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.7

$\frac{- 5}{3}$ に $\frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.8

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

ステップ 7.8.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 5}{3}) (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

ステップ 7.8.3

$\frac{- 5}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 5}{3} (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

ステップ 7.9

$\frac{5}{3}$ に $\frac{- 5}{3}$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{5 \cdot - 5}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 7.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

$5$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 7.10.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ を解くと、 $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}}$ であることが分かります。

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

簡約します。

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ステップ 9.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

ステップ 9.1.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{34}{9}$ で割ります。

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.2

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$ を $(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$ に書き換えます。

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$\sin (5 x)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$(- \frac{\sin (5 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.3.2

$e^{- 3 x}$ と $\frac{\sin (5 x)}{3}$ をまとめます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.3.3

$\cos (5 x)$ と $\frac{5}{9}$ をまとめます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.3.4

$e^{- 3 x}$ と $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9}$ をまとめます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.3.5

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.1.1

書き換えます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.4.1.2

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.4.1.3

不要な括弧を削除します。

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{9}) \frac{9}{34} + C$

ステップ 9.4.2

$5$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (5 x) - \frac{5}{9} e^{- 3 x} \cos (5 x)) \frac{9}{34} + C$

微分積分 例

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