微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$4$ を $2$ プラス $2$ に書き換える

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

ステップ 1.2

${\sec (x)}^{2 + 2}$ を $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 2

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ に書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

ステップ 3

$u = \tan (x)$ とします。次に $d u = \sec^{2} (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = \tan (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$\tan (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

ステップ 3.1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x)$

ステップ 3.2

$u = \tan (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \tan (0)$

ステップ 3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 3.4

$u = \tan (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

ステップ 3.5

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$u_{upper} = \sqrt{3}$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

ステップ 4

$u^{5} (1 + u^{2})$ を掛けます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$u^{5}$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

ステップ 5.2

指数を足して $u^{5}$ に $u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

ステップ 5.2.2

$5$ と $2$ をたし算します。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

ステップ 9

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ と $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$\sqrt{3}$ および $0$ で $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

${\sqrt{3}}^{6}$ を $3^{3}$ に書き換えます。

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ステップ 10.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.4

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.4.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.1.4.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.2

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.3

$\frac{1}{6}$ と $27$ をまとめます。

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.4

$27$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.4.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.4.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5

${\sqrt{3}}^{8}$ を $3^{4}$ に書き換えます。

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ステップ 10.2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.4

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.4.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.5.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.5.4.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.6

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.7

$\frac{1}{8}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.8

$\frac{9}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.2.9.1

$\frac{9}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.9.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.11

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.11.1

$9$ に $4$ をかけます。

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.11.2

$36$ と $81$ をたし算します。

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.12

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.13

$\frac{1}{6}$ に $0$ をかけます。

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

ステップ 10.2.14

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

ステップ 10.2.15

$\frac{1}{8}$ に $0$ をかけます。

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

ステップ 10.2.16

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{117}{8} - 0$

ステップ 10.2.17

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{117}{8} + 0$

ステップ 10.2.18

$\frac{117}{8}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{117}{8}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{117}{8}$

10進法形式：

$14.625$

帯分数形：

$14 \frac{5}{8}$

微分積分 例

微分積分例