微分積分例

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

$e^{2 y}$ の指数を否定し、分母の外に移動させます。

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

ステップ 1.2

${(e^{2 y})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

ステップ 1.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

ステップ 2

$u = y$ と $d v = e^{- 2 y}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$e^{- 2 y}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

ステップ 3.2

$y$ と $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

ステップ 4

$- \frac{1}{2}$ は $y$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

ステップ 6

$u = - 2 y$ とします。次に $d u = - 2 d y$ すると、 $- \frac{1}{2} d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u = - 2 y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$- 2 y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

ステップ 6.1.2

$- 2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 2 y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 6.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 6.1.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 6.2

$u = - 2 y$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

ステップ 6.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 6.4

$u = - 2 y$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

ステップ 6.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = - 2$

ステップ 6.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

ステップ 6.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

ステップ 7.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

ステップ 8

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ および $0$ で $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

ステップ 12.2

$- 2$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.2

$e^{- 2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.4

$- 2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.6

$0$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.7.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.7.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.7.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.8

$- \frac{1}{2 e^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

ステップ 12.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

ステップ 12.3.10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

ステップ 12.3.11

$- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.12

$- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ と $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.15

$- 2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.16

$e^{2}$ と $\frac{- 2}{4}$ をまとめます。

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.17

$- 2$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.18

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.18.1

$2$ を $- 2 e^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.18.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 12.3.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 13.2

$- 1$ を $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

ステップ 13.3

$- 1$ を $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ で因数分解します。

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

ステップ 13.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

ステップ 14.2

$\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.1

$\frac{e^{2}}{2}$ と $e^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

ステップ 14.2.2

指数を足して $e^{2}$ に $e^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 14.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

ステップ 14.2.2.2

$2$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

ステップ 14.2.3

$e^{0}$ を簡約します。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

ステップ 14.3

$\frac{e^{2}}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.4

$- 1$ を $e^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.5

$- 1 e^{2}$ を $- e^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.6

分子を簡約します。

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ステップ 14.6.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.6.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.6.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

ステップ 14.7

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

ステップ 14.8

$\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.8.1

$\frac{3 - e^{2}}{2}$ に $\frac{1}{2 e^{2}}$ をかけます。

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

ステップ 14.8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

10進法形式：

$0.14849853 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例