微分積分例

$\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}) d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[4]{x}) d x$

ステップ 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{x}$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\int_{0}^{1} x (x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{4}}) d x$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\int_{0}^{1} x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} x^{1} x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} x^{1 + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3 + 1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.6

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.7

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.9

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

ステップ 3.10

公分母の分子をまとめます。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

ステップ 3.11

$4$ と $1$ をたし算します。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{4}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ です。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{4}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ です。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1}$ と $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$ をまとめます。

$\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ の値を求めます。

$(\frac{3}{7} \cdot 1^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}}) - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2

簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{7} \cdot 1 + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{3}{7}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1^{\frac{9}{4}} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} \cdot 1 - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.4

$\frac{4}{9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{7} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.5

$\frac{3}{7}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.6

$\frac{4}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$\frac{3}{7} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $63$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.2.7.1

$\frac{3}{7}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.7.2

$7$ に $9$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4}{9} \cdot \frac{7}{7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.7.3

$\frac{4}{9}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.7.4

$9$ に $7$ をかけます。

$\frac{3 \cdot 9}{63} + \frac{4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 \cdot 9 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.2.9.1

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{27 + 4 \cdot 7}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.9.2

$4$ に $7$ をかけます。

$\frac{27 + 28}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.9.3

$27$ と $28$ をたし算します。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.10

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.11

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.12

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.12.1

共通因数を約分します。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.12.2

式を書き換えます。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0^{7} + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.13

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{55}{63} - (\frac{3}{7} \cdot 0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.14

$\frac{3}{7}$ に $0$ をかけます。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.15

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}})$

ステップ 7.2.2.16

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

ステップ 7.2.2.17

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})})$

ステップ 7.2.2.17.2

式を書き換えます。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0^{9})$

ステップ 7.2.2.18

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{55}{63} - (0 + \frac{4}{9} \cdot 0)$

ステップ 7.2.2.19

$\frac{4}{9}$ に $0$ をかけます。

$\frac{55}{63} - (0 + 0)$

ステップ 7.2.2.20

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{55}{63} - 0$

ステップ 7.2.2.21

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{55}{63} + 0$

ステップ 7.2.2.22

$\frac{55}{63}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{55}{63}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{55}{63}$

10進法形式：

$0.\overline{873015}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例