微分積分例

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

ステップ 2

$e^{t}$ の $t$ に関する積分は $e^{t}$ です。

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

ステップ 3

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

ステップ 4

$u = - t$ とします。次に $d u = - d t$ すると、 $- d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = - t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 4.1.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4.2

$u = - t$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0$

ステップ 4.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = - t$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

ステップ 4.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$u_{upper} = - 3$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

ステップ 4.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

ステップ 6.2

$\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ に $1$ をかけます。

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

ステップ 7

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$3$ および $0$ で $e^{t}$ の値を求めます。

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

ステップ 8.2

$- 3$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

ステップ 8.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

ステップ 8.3.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

ステップ 8.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

ステップ 8.3.5

$- 1$ から $1$ を引きます。

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

10進法形式：

$18.13532399 \dots$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例