微分積分例

$\int_{1}^{3} r^{3} \ln (r) d r$

ステップ 1

$u = \ln (r)$ と $d v = r^{3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (r) (\frac{1}{4} r^{4})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ と $r^{4}$ をまとめます。

$\ln (r) \frac{r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r$

ステップ 2.2

$\ln (r)$ と $\frac{r^{4}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{4} r^{4} \frac{1}{r} d r$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $r$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{4} \frac{1}{r} d r)$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$r^{4}$ と $\frac{1}{r}$ をまとめます。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r^{4}}{r} d r)$

ステップ 4.2

$r^{4}$ と $r$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$r$ を $r^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r} d r)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$r$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r^{1}} d r)$

ステップ 4.2.2.2

$r$ を $r^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 1} d r)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r \cdot r^{3}}{r \cdot 1} d r)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{r^{3}}{1} d r)$

ステップ 4.2.2.5

$r^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r)$

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \int_{1}^{3} r^{3} d r$

ステップ 5

べき乗則では、 $r^{3}$ の $r$ に関する積分は $\frac{1}{4} r^{4}$ です。

$\frac{\ln (r) r^{4}}{4}]_{1}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3}$

ステップ 6

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$3$ および $1$ で $\frac{\ln (r) r^{4}}{4}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} r^{4}]_{1}^{3}$

ステップ 6.2

$3$ および $1$ で $\frac{1}{4} r^{4}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{\ln (3) \cdot 81}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.2

$81$ を $\ln (3)$ の左に移動させます。

$\frac{81 \cdot \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.4

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.5

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.6

$\frac{1}{4}$ と $81$ をまとめます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{81}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 6.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{81}{4} - \frac{1}{4})$

ステップ 6.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{81 - 1}{4}$

ステップ 6.3.10

$81$ から $1$ を引きます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{80}{4}$

ステップ 6.3.11

$80$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.1

$4$ を $80$ で因数分解します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 20}{4}$

ステップ 6.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.11.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 20}{4 (1)}$

ステップ 6.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{20}{1}$

ステップ 6.3.11.2.4

$20$ を $1$ で割ります。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} \cdot 20$

ステップ 6.3.12

$20$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 20 (\frac{1}{4})$

ステップ 6.3.13

$- 20$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} + \frac{- 20}{4}$

ステップ 6.3.14

$- 20$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.14.1

$4$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} + \frac{4 \cdot - 5}{4}$

ステップ 6.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.14.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (1)}$

ステップ 6.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} + \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.3.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} + \frac{- 5}{1}$

ステップ 6.3.14.2.4

$- 5$ を $1$ で割ります。

$\frac{81 \ln (3)}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - 5$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

公分母の分子をまとめます。

$- 5 + \frac{81 \ln (3) - \ln (1)}{4}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 5 + \frac{81 \ln (3) - 0}{4}$

ステップ 7.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 5 + \frac{81 \ln (3) + 0}{4}$

ステップ 7.3

$81 \ln (3)$ と $0$ をたし算します。

$- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 5 + \frac{81 \ln (3)}{4}$

10進法形式：

$17.24689884 \dots$

微分積分 例

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