微分積分例

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

ステップ 1

$u = π x^{2}$ とします。次に $d u = 2 \cdot x π d x$ すると、 $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = π x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$π x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x^{2}$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π (2 x)$

ステップ 1.1.4

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$2 π x$

ステップ 1.1.5

$2 π$ と $x$ を並べ替えます。

$x (2 π)$

ステップ 1.1.6

$x$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot x π$

ステップ 1.2

$u = π x^{2}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = π \cdot 1$

ステップ 1.3.2

$π$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = π$

ステップ 1.4

$u = π x^{2}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$3$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = π \cdot 9$

ステップ 1.5.2

$9$ を $π$ の左に移動させます。

$u_{upper} = 9 π$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

ステップ 2

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2 π}$ をまとめます。

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2 π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2 π}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

ステップ 4

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

ステップ 5

$9 π$ および $π$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

ステップ 6.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

ステップ 6.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

ステップ 6.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 6.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

ステップ 6.1.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

ステップ 6.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

ステップ 6.1.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

ステップ 6.1.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

ステップ 6.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2 π}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

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