微分積分例

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

ステップ 2

$u = \ln (x)$ と $d v = x$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{2}}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

ステップ 3.4

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

ステップ 3.5

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

ステップ 5

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

ステップ 6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

ステップ 6.1.2

$\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$4$ および $2$ で $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

ステップ 6.2.2

$4$ および $2$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.2

$16$ を $\ln (4)$ の左に移動させます。

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.3

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.1

$2$ を $16 \ln (4)$ で因数分解します。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.3.2.4

$8 \ln (4)$ を $1$ で割ります。

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.5

$4$ を $\ln (2)$ の左に移動させます。

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.6

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.6.1

$2$ を $4 \ln (2)$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.6.2.3

式を書き換えます。

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.6.2.4

$2 \ln (2)$ を $1$ で割ります。

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.8

$4$ を $2$ 乗します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.9

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.9.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.9.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.9.2.3

式を書き換えます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.9.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.10

$2$ を $2$ 乗します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.11

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.11.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

ステップ 6.2.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

ステップ 6.2.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

ステップ 6.2.3.11.2.3

式を書き換えます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

ステップ 6.2.3.11.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

ステップ 6.2.3.12

$- 1$ に $2$ をかけます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

ステップ 6.2.3.13

$8$ から $2$ を引きます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

ステップ 6.2.3.14

$6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.14.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

ステップ 6.2.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.14.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

ステップ 6.2.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

ステップ 6.2.3.14.2.3

式を書き換えます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

ステップ 6.2.3.14.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

ステップ 6.2.3.15

$- 1$ に $3$ をかけます。

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

ステップ 7.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\ln (4)$ を $\ln (2^{2})$ に書き換えます。

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

ステップ 7.2.2

$2$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{2})$ を展開します。

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

ステップ 7.2.3

$- 2$ に $6$ をかけます。

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

ステップ 7.2.4

$6$ に $- 3$ をかけます。

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$2$ に $8$ をかけます。

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

ステップ 7.3.2

$16$ に $6$ をかけます。

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

ステップ 7.4

$96 \ln (2)$ から $12 \ln (2)$ を引きます。

$84 \ln (2) - 18$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$84 \ln (2) - 18$

10進法形式：

$40.22436316 \dots$

微分積分 例

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