微分積分例

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln^{2} (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$x$ と $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ をまとめます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 2.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1

共通因数を約分します。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

ステップ 2.2.2

$\ln (x^{2})$ を $1$ で割ります。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

ステップ 3

$\ln (x^{2})$ を $2 \ln (x)$ に書き換えます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

ステップ 5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

ステップ 6

$u = \ln (x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

ステップ 7.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$e$ および $1$ で $\ln^{2} (x) x$ の値を求めます。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

ステップ 9.2

$e$ および $1$ で $\ln (x) x$ の値を求めます。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

ステップ 9.3

$e$ および $1$ で $x$ の値を求めます。

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

ステップ 9.4

簡約します。

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ステップ 9.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

ステップ 9.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.3

$e$ に $1$ をかけます。

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.7.1

$e$ の自然対数は $1$ です。

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.7.2

$e$ に $1$ をかけます。

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

ステップ 10.1.7.3

$1$ の自然対数は $0$ です。

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

ステップ 10.1.7.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

ステップ 10.1.7.5

分配則を当てはめます。

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

ステップ 10.1.7.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

ステップ 10.1.8

$e$ と $0$ をたし算します。

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

ステップ 10.1.9

$e$ から $e$ を引きます。

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

ステップ 10.1.10

$0$ と $1$ をたし算します。

$e + 0 - 2 \cdot 1$

ステップ 10.1.11

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e + 0 - 2$

ステップ 10.2

$e$ と $0$ をたし算します。

$e - 2$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$e - 2$

10進法形式：

$0.71828182 \dots$

微分積分 例

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