微分積分例

$\int x^{2} \sin (π x) d x$

ステップ 1

$u = x^{2}$ と $d v = \sin (π x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x^{2} (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (π x)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$x^{2} (- \frac{\cos (π x)}{π}) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x^{2}$ と $\frac{\cos (π x)}{π}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) (2 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{π} \cdot 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{π} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{1}{π} \cdot 2 \int \cos (π x) (x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- 2 \frac{1}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

ステップ 4.2

$- 2$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (\frac{- 2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

ステップ 4.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} - (- \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + 1 (\frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x)$

ステップ 4.5

$\frac{2}{π}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} \int \cos (π x) (x) d x$

ステップ 5

$u = x$ と $d v = \cos (π x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x (\frac{1}{π} \sin (π x)) - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

ステップ 6

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ステップ 6.1

$\frac{1}{π}$ と $\sin (π x)$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (x \frac{\sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

ステップ 6.2

$x$ と $\frac{\sin (π x)}{π}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{1}{π} \sin (π x) d x)$

ステップ 6.3

$\frac{1}{π}$ と $\sin (π x)$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \int \frac{\sin (π x)}{π} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{π}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - (\frac{1}{π} \int \sin (π x) d x))$

ステップ 8

$u = π x$ とします。次に $d u = π d x$ すると、 $\frac{1}{π} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = π x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$π x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [π x]$

ステップ 8.1.2

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$π \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$π \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$π$ に $1$ をかけます。

$π$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u)$

ステップ 9

$\sin (u)$ と $\frac{1}{π}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} \int \frac{\sin (u)}{π} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{π}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{π}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{π}$ に $\frac{1}{π}$ をかけます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π π} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11.2

$π$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11.3

$π$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 11.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} \int \sin (u) d u)$

ステップ 12

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} - \frac{1}{π^{2}} (- \cos (u) + C))$ を $- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$ に書き換えます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{π}{π}$ を掛けます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) \cdot \frac{π}{π} + C$

ステップ 13.2.2

$\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})$ と $\frac{π}{π}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x)}{π} + \frac{\frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

ステップ 13.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}}) π}{π} + C$

ステップ 13.2.4

$π$ と $\frac{2}{π}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{π \cdot 2}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 13.2.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 \cdot π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 13.2.6

$π$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 π}{π} (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 13.2.6.2

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (u)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 14

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 (\frac{x \sin (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分子を簡約します。

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ステップ 15.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + 2 \frac{x \sin (π x)}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.1.2

$2$ と $\frac{x \sin (π x)}{π}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 (x \sin (π x))}{π} + 2 \frac{\cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.1.3

$2$ と $\frac{\cos (π x)}{π^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- x^{2} \cos (π x) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.2

$- 1$ を $- x^{2} \cos (π x)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) + \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.3

$- 1$ を $\frac{2 x \sin (π x)}{π}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.4

$- 1$ を $- (x^{2} \cos (π x)) - \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) + \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.5

$- 1$ を $\frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.6

$- 1$ を $- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π}) - \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 15.7

$- (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ を $- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}})}{π} + C$

ステップ 15.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) + \frac{- 2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} + \frac{- 2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} \cos (π x) - \frac{2 x \sin (π x)}{π} - \frac{2 \cos (π x)}{π^{2}}}{π} + C$

ステップ 15.11

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{π} (x^{2} \cos (π x) - \frac{2}{π} x \sin (π x) - \frac{2}{π^{2}} \cos (π x)) + C$

微分積分 例

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