微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x + h}{x + h + 1}$ です。

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x + h}{x + h + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{x}{x + 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 1) (x + 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{x + h}{x + h + 1}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{x}{x + 1}$ に $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(x + h + 1) (x + 1)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

$h$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

簡約します。

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ステップ 4.1.5.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.4.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$h x + h - x h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$h x$ から $x h$ を引きます。

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ステップ 4.1.5.9.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9.2

$x h$ から $x h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x + 1}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

ステップ 5.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

ステップ 5.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 5.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

ステップ 5.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

ステップ 7.2.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

ステップ 7.2.3

$x + 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

ステップ 7.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例