微分積分例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{3}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 6 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} - 6 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 12 x$ です。

$12 x^{2} - 12 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $12 x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x) - 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$12 x (x) + 12 x (- 1) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (x) + 12 x (- 1)$ で因数分解します。

$12 x (x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 1$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3}$

ステップ 3.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$1$ を $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3}$

ステップ 3.3.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 1 - 2$

ステップ 3.3.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f (1) = - 1$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 3.4

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, - 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, - 1)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (1, - 1)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 12 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 12 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 12 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2.1.3

$- 12$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 1.2$

ステップ 5.2.2

$0.12$ と $1.2$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = 1.32$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1.32$ です。

$1.32$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $1.32$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{2}$ で置換えます。

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.4.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 12 (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.5.1

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

ステップ 6.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f'' (\frac{1}{2}) = 3 - 6$

ステップ 6.2.2

$3$ から $6$ を引きます。

$f'' (\frac{1}{2}) = - 3$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ で二次導関数は $- 3$ です。これは負の値なので、 $(0, 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12 \cdot 1.1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12 \cdot 1.1$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = 14.52 - 12 \cdot 1.1$

ステップ 7.2.1.3

$- 12$ に $1.1$ をかけます。

$f'' (1.1) = 14.52 - 13.2$

ステップ 7.2.2

$14.52$ から $13.2$ を引きます。

$f'' (1.1) = 1.32$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.32$ です。

$1.32$

ステップ 7.3

$1.1$ で二次導関数は $1.32$ です。これは正の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(0, 0), (1, - 1)$ です。

$(0, 0), (1, - 1)$

ステップ 9

微分積分 例

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