微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - (4 x^{3})$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 12 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{2} + 24 x$ です。

$- 12 x^{2} + 24 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

ステップ 2.2

$- 12 x$ を $- 12 x^{2} + 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 12 x$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 12 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 12 x$ を $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$- 12 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $- 12 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 4 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$2$ を $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 4 {(2)}^{3} - {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$f (2) = 4 \cdot 8 - {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$f (2) = 32 - {(2)}^{4}$

ステップ 3.3.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (2) = 32 - 1 \cdot 16$

ステップ 3.3.2.1.4

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f (2) = 32 - 16$

ステップ 3.3.2.2

$32$ から $16$ を引きます。

$f (2) = 16$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 3.4

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ で代入して $2$ 求めた点は、 $(2, 16)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(2, 16)$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (2, 16)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

ステップ 5.2.1.3

$24$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

ステップ 5.2.2

$- 0.12$ から $2.4$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 2.52$ です。

$- 2.52$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 2.52$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

ステップ 6.2.1.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 24$

ステップ 6.2.2

$- 12$ と $24$ をたし算します。

$f'' (1) = 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$1$ で二次導関数は $12$ です。これは正の値なので、 $(0, 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.1$ で置換えます。

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

ステップ 7.2.1.3

$24$ に $2.1$ をかけます。

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

ステップ 7.2.2

$- 52.92$ と $50.4$ をたし算します。

$f'' (2.1) = - 2.52$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 2.52$ です。

$- 2.52$

ステップ 7.3

$2.1$ で二次導関数は $- 2.52$ です。これは負の値なので、 $(2, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(2, \infty)$ で減少

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (2, 16)$ .

$(0, 0), (2, 16)$

ステップ 9

微分積分 例

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