微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$x^{2} + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ です。

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- x^{2} + 9 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$- x^{2} = - 9$

ステップ 2.3.2

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.3.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.3.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 2.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $3, - 3$ です。

$3, - 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = \frac{- {(- 4)}^{2} + 9}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 1 \cdot 16 + 9}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = \frac{- 16 + 9}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$- 16$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 7}{{({(- 4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 7}{{(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{- 7}{25^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$25$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = \frac{- 7}{625}$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 4) = - \frac{7}{625}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $- \frac{7}{625}$ です。

$- \frac{7}{625}$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $- \frac{7}{625}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 9}{{({(0)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{- 0 + 9}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{0 + 9}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ と $9$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{9}{{(0^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = \frac{9}{{(0 + 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $9$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{9}{9^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (0) = \frac{9}{81}$

ステップ 6.2.3

$9$ と $81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{9 (1)}{81}$

ステップ 6.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$9$ を $81$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{1}{9}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{9}$ です。

$\frac{1}{9}$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $\frac{1}{9}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3, 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 3, 3)$ で増加

ステップ 7

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = \frac{- {(4)}^{2} + 9}{{({(4)}^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{- 1 \cdot 16 + 9}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = \frac{- 16 + 9}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 16$ と $9$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{- 7}{{(4^{2} + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{- 7}{{(16 + 9)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$16$ と $9$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{- 7}{25^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$25$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = \frac{- 7}{625}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (4) = - \frac{7}{625}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- \frac{7}{625}$ です。

$- \frac{7}{625}$

ステップ 7.3

$x = 4$ で微分係数は $- \frac{7}{625}$ です。これは負の値なので、関数は $(3, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(3, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3, 3)$ で増加

$(- \infty, - 3), (3, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例