微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$2$ を $x^{2} - 4$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.6.3.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.1.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2

$2 x^{3} - 8 x - 2 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.6.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 8 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.3.2.2

$- 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.6.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

ステップ 1.1.6.5.3

積の法則を $(x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ です。

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$8 x = 0$

ステップ 2.3

$8 x = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$8 x = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{8}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{8 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 4.2.3

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.2.3.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 4.2.4

最終解は ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 2, x = 2$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = - \frac{8 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$8$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 3$ から $2$ を引きます。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 {(- 5)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{1 \cdot 25}$

ステップ 6.2.2.5

$25$ に $1$ をかけます。

$f' (- 3) = - \frac{- 24}{25}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 3) = \frac{24}{25}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{24}{25}$ です。

$\frac{24}{25}$

ステップ 6.3

$x = - 3$ で微分係数は $\frac{24}{25}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 2)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - \frac{8 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 {(- 3)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$- 3$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

ステップ 7.2.2.5

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - \frac{- 8}{9}$

ステップ 7.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = \frac{8}{9}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{8}{9}$ です。

$\frac{8}{9}$

ステップ 7.3

$x = - 1$ で微分係数は $\frac{8}{9}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 2, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 2, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = - \frac{8 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$8$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (1) = - \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (1) = - \frac{8}{9 \cdot 1}$

ステップ 8.2.3

$9$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = - \frac{8}{9}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- \frac{8}{9}$ です。

$- \frac{8}{9}$

ステップ 8.3

$x = 1$ で微分係数は $- \frac{8}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 2)$ で減少

ステップ 9

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - \frac{8 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$8$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{24}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$3$ と $2$ をたし算します。

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$f' (3) = - \frac{24}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

ステップ 9.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1^{2}}$

ステップ 9.2.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (3) = - \frac{24}{25 \cdot 1}$

ステップ 9.2.3

$25$ に $1$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{24}{25}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- \frac{24}{25}$ です。

$- \frac{24}{25}$

ステップ 9.3

$x = 3$ で微分係数は $- \frac{24}{25}$ です。これは負の値なので、関数は $(2, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(2, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 2), (- 2, 0)$ で増加

$(0, 2), (2, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例