微分積分例

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 32 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 32 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 32 x$ の微分係数は $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.2.3

$- 32$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} - 32$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 32$ です。

$4 x^{3} - 32$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 32 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 32 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $32$ を足します。

$4 x^{3} = 32$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $32$ を引きます。

$4 x^{3} - 32 = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $4 x^{3} - 32$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$4$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

ステップ 2.4.1.2

$4$ を $- 32$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

ステップ 2.4.1.3

$4$ を $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ で因数分解します。

$4 (x^{3} - 8) = 0$

ステップ 2.4.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

ステップ 2.4.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 2.4.4

因数分解。

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ステップ 2.4.4.1

簡約します。

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ステップ 2.4.4.1.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 2.4.4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

ステップ 2.4.4.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

ステップ 2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.7

$x^{2} + 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$x^{2} + 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

ステップ 2.7.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3

簡約します。

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ステップ 2.7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.2.4.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.7.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

ステップ 2.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.2.5.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.7.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.7.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 2.8

最終解は $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $2$ です。

$2$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ です。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 4 - 32$

ステップ 5.2.2

$4$ から $32$ を引きます。

$f' (1) = - 28$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 28$ です。

$- 28$

ステップ 5.3

$x = 1$ で微分係数は $- 28$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 2)$ で減少

ステップ 6

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

ステップ 6.2.1.2

$4$ に $27$ をかけます。

$f' (3) = 108 - 32$

ステップ 6.2.2

$108$ から $32$ を引きます。

$f' (3) = 76$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $76$ です。

$76$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $76$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(2, \infty)$ で増加

$(- \infty, 2)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例