微分積分例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ , $a = 1$

ステップ 1

$a$ で線形化を求めるために使用する関数を考えます。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

ステップ 2

$a = 1$ の値を線形化関数に代入します。

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

ステップ 3

$f (1)$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = {(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

ステップ 3.2

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1

括弧を削除します。

${(1)}^{4} + 2 {(1)}^{2}$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 2 {(1)}^{2}$

ステップ 3.2.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 2 \cdot 1$

ステップ 3.2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$1 + 2$

ステップ 3.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$3$

ステップ 4

微分係数を求め、 $1$ で値を求めます。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1.1

微分します。

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ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 4 x$

ステップ 4.2

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$4 {(1)}^{3} + 4 (1)$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$4 \cdot 1 + 4 (1)$

ステップ 4.3.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4 (1)$

ステップ 4.3.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + 4$

ステップ 4.3.2

$4$ と $4$ をたし算します。

$8$

ステップ 5

成分を線形化関数に代入し、 $a$ における線形化を求めます。

$L (x) = 3 + 8 (x - 1)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$L (x) = 3 + 8 x + 8 \cdot - 1$

ステップ 6.1.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$L (x) = 3 + 8 x - 8$

ステップ 6.2

$3$ から $8$ を引きます。

$L (x) = 8 x - 5$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例