微分積分例

$x e^{- 2 x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- 2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.3.2

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.5

$e^{- 2 x}$ に $1$ をかけます。

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

ステップ 1.1.4.2

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ です。

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

ステップ 2.2

$e^{- 2 x}$ を $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$e^{- 2 x}$ を $- 2 x e^{- 2 x}$ で因数分解します。

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

ステップ 2.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$e^{- 2 x}$ を $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$e^{- 2 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$e^{- 2 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 2 x} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $e^{- 2 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.4.2.3

$e^{- 2 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.5

$- 2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- 2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $- 2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 1$

ステップ 2.5.2.2

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$- 2 x = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x e^{- 2 x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2}$ を $x$ に代入します。

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

ステップ 4.1.2.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

ステップ 4.1.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{e}$ をかけます。

$\frac{1}{2 e}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例