微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 24$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 24$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [24]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$24$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $24$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ です。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$12 x$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) - 12 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12 x$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- x) - 24 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (- x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12 x$ を $12 x (x^{2}) + 12 x (- x)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} - x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12 x$ を $12 x (x^{2} - x) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} - x - 2) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$12 x ((x - 2) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 x (x - 2) (x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.7

最終解は $12 x (x - 2) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 24$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 24$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 24$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 {(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 24$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 \cdot 0 - 12 {(0)}^{2} + 24$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 12 {(0)}^{2} + 24$

ステップ 4.1.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 12 \cdot 0 + 24$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 12$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 24$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 24$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 24$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $24$ をたし算します。

$24$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$3 {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2} + 24$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 16 - 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2} + 24$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$48 - 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2} + 24$

ステップ 4.2.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$48 - 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2} + 24$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 4$ に $8$ をかけます。

$48 - 32 - 12 {(2)}^{2} + 24$

ステップ 4.2.2.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$48 - 32 - 12 \cdot 4 + 24$

ステップ 4.2.2.1.6

$- 12$ に $4$ をかけます。

$48 - 32 - 48 + 24$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$48$ から $32$ を引きます。

$16 - 48 + 24$

ステップ 4.2.2.2.2

$16$ から $48$ を引きます。

$- 32 + 24$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 32$ と $24$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 4.3

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} + 24$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} + 24$

ステップ 4.3.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2} + 24$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 - 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2} + 24$

ステップ 4.3.2.1.4

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$3 + 4 - 12 {(- 1)}^{2} + 24$

ステップ 4.3.2.1.5

$- 1$ を $2$ 乗します。

$3 + 4 - 12 \cdot 1 + 24$

ステップ 4.3.2.1.6

$- 12$ に $1$ をかけます。

$3 + 4 - 12 + 24$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$3$ と $4$ をたし算します。

$7 - 12 + 24$

ステップ 4.3.2.2.2

$7$ から $12$ を引きます。

$- 5 + 24$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 5$ と $24$ をたし算します。

$19$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 24), (2, - 8), (- 1, 19)$

ステップ 5

微分積分 例

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