微分積分例

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

ステップ 1.1.3.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

ステップ 1.1.3.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

ステップ 1.1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

ステップ 1.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

ステップ 1.1.3.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$0 + \frac{1}{3} - x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ と $\frac{1}{3}$ をたし算します。

$\frac{1}{3} - x$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- x + \frac{1}{3}$ です。

$- x + \frac{1}{3}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x + \frac{1}{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x + \frac{1}{3} = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $\frac{1}{3}$ を引きます。

$- x = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.3

$- x = - \frac{1}{3}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- x = - \frac{1}{3}$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

ステップ 2.3.3.2

$\frac{1}{3}$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{1}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{3}$ を $x$ に代入します。

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

ステップ 4.1.2.1.5

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

$\frac{1}{9}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$9$ に $2$ をかけます。

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{4}{1}$ に $\frac{18}{18}$ をかけます。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{4}{1}$ に $\frac{18}{18}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{1}{9}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{1}{9}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.6

$9 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.2.7

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

ステップ 4.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$4$ に $18$ をかけます。

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

ステップ 4.1.2.4.2

$72$ と $2$ をたし算します。

$\frac{74 - 1}{18}$

ステップ 4.1.2.4.3

$74$ から $1$ を引きます。

$\frac{73}{18}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例