微分積分例

$f (x) = 3 x {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x {(16 - x)}^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(16 - x)}^{3})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 16 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $16 - x$ とします。

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $16 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4

微分します。

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ステップ 1.1.4.1

総和則では、 $16 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.2

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 1.1.4.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 1.1.4.9

${(16 - x)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

ステップ 1.1.5

簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.5.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3

$3 {(16 - x)}^{2}$ を $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.5.3.1

$3 {(16 - x)}^{2}$ を $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

ステップ 1.1.5.3.2

$3 {(16 - x)}^{2}$ を $3 {(16 - x)}^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

ステップ 1.1.5.3.3

$3 {(16 - x)}^{2}$ を $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ で因数分解します。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

ステップ 1.1.5.4

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = 3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.5

${(16 - x)}^{2}$ を $(16 - x) (16 - x)$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(16 - x) (16 - x)$ を展開します。

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ステップ 1.1.5.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.6.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.6.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.5.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.7.1.1

$16$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.3

$16$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.7.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.7.2

$- 16 x$ から $16 x$ を引きます。

$f' (x) = 3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = (3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.9

簡約します。

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ステップ 1.1.5.9.1

$3$ に $256$ をかけます。

$f' (x) = (768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.9.2

$- 32$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = (768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

ステップ 1.1.5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ を展開します。

$f' (x) = 768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.11.1

$- 4$ に $768$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.2

$768$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.11.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 - 96 \cdot (- 4 x^{2}) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.5

$- 96$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.6

$16$ に $- 96$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.8

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.5.11.8.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.8.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.1.5.11.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.8.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot (- 4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.9

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

ステップ 1.1.5.11.10

$16$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

ステップ 1.1.5.12

$- 3072 x$ から $1536 x$ を引きます。

$f' (x) = - 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

ステップ 1.1.5.13

$384 x^{2}$ と $48 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = - 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ です。

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12$ を $- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$12$ を $- 4608 x$ で因数分解します。

$12 (- 384 x) + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12$ を $12288$ で因数分解します。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) - 12 x^{3} + 432 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12$ を $- 12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 432 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12$ を $432 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (- 384 x) + 12 (1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12$ を $12 (- 384 x) + 12 (1024)$ で因数分解します。

$12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.6

$12$ を $12 (- 384 x + 1024) + 12 (- x^{3})$ で因数分解します。

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.1.7

$12$ を $12 (- 384 x + 1024 - x^{3}) + 12 (36 x^{2})$ で因数分解します。

$12 (- 384 x + 1024 - x^{3} + 36 x^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2

項を並べ替えます。

$12 (- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

有理根検定を用いて $- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

$q = \pm 1$

ステップ 2.2.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 1024, \pm 2, \pm 512, \pm 4, \pm 256, \pm 8, \pm 128, \pm 16, \pm 64, \pm 32$

ステップ 2.2.3.1.3

$4$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $4$ は多項式の根です。

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ステップ 2.2.3.1.3.1

$4$ を多項式に代入します。

$- 4^{3} + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.2

$4$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.3

$- 1$ に $64$ をかけます。

$- 64 + 36 \cdot 4^{2} - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.4

$4$ を $2$ 乗します。

$- 64 + 36 \cdot 16 - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.5

$36$ に $16$ をかけます。

$- 64 + 576 - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.6

$- 64$ と $576$ をたし算します。

$512 - 384 \cdot 4 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.7

$- 384$ に $4$ をかけます。

$512 - 1536 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.8

$512$ から $1536$ を引きます。

$- 1024 + 1024$

ステップ 2.2.3.1.3.9

$- 1024$ と $1024$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.2.3.1.4

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024}{x - 4}$

ステップ 2.2.3.1.5

$- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ を $x - 4$ で割ります。

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ステップ 2.2.3.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{3}$

$36 x^{2}$

$384 x$

$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.2

被除数 $- x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{3} + 4 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

ステップ 2.2.3.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

ステップ 2.2.3.1.5.7

被除数 $32 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$

ステップ 2.2.3.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					+	$32 x^{2}$	-	$128 x$

ステップ 2.2.3.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $32 x^{2} - 128 x$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$

ステップ 2.2.3.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$

ステップ 2.2.3.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.12

被除数 $- 256 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							-	$256 x$	+	$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 256 x + 1024$ の符号をすべて変更します。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$

ステップ 2.2.3.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$x^{2}$	+	$32 x$	-	$256$
$x$	-	$4$	-	$x^{3}$	+	$36 x^{2}$	-	$384 x$	+	$1024$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$384 x$
					-	$32 x^{2}$	+	$128 x$
							-	$256 x$	+	$1024$
							+	$256 x$	-	$1024$
										$0$

ステップ 2.2.3.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- x^{2} + 32 x - 256$

ステップ 2.2.3.1.6

$- x^{3} + 36 x^{2} - 384 x + 1024$ を因数の集合として書き換えます。

$12 ((x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 x - 256) = 0$

ステップ 2.2.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 256 = 256$ で和が $b = 32$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.1.1

$32$ を $32 x$ で因数分解します。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 32 (x) - 256) = 0$

ステップ 2.2.4.1.1.2

$32$ を $16$ プラス $16$ に書き換える

$12 (x - 4) (- x^{2} + (16 + 16) x - 256) = 0$

ステップ 2.2.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (x - 4) (- x^{2} + 16 x + 16 x - 256) = 0$

ステップ 2.2.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$12 (x - 4) ((- x^{2} + 16 x) + 16 x - 256) = 0$

ステップ 2.2.4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$12 (x - 4) (x (- x + 16) - 16 (- x + 16)) = 0$

ステップ 2.2.4.1.3

最大公約数 $- x + 16$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$12 (x - 4) ((- x + 16) (x - 16)) = 0$

ステップ 2.2.4.2

不要な括弧を削除します。

$12 (x - 4) (- x + 16) (x - 16) = 0$

ステップ 2.2.5

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$12 (x - 4) (- (x) + 16) (x - 16) = 0$

ステップ 2.2.5.2

$16$ を $- 1 (- 16)$ に書き換えます。

$12 (x - 4) (- (x) - 1 \cdot - 16) (x - 16) = 0$

ステップ 2.2.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 16)$ で因数分解します。

$12 (x - 4) (- (x - 16)) (x - 16) = 0$

ステップ 2.2.5.4

$- (x - 16)$ を $- 1 (x - 16)$ に書き換えます。

$12 (x - 4) (- 1 (x - 16)) (x - 16) = 0$

ステップ 2.2.5.5

括弧を削除します。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 (x - 16) (x - 16)) = 0$

ステップ 2.2.5.6

$x - 16$ を $1$ 乗します。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

ステップ 2.2.5.7

$x - 16$ を $1$ 乗します。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 ((x - 16) (x - 16))) = 0$

ステップ 2.2.5.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{1 + 1}) = 0$

ステップ 2.2.5.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$12 (x - 4) \cdot (- 1 {(x - 16)}^{2}) = 0$

ステップ 2.2.5.10

$- 1$ に $12$ をかけます。

$- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

${(x - 16)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 2.5

${(x - 16)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

${(x - 16)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 16)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x - 16)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$x - 16$ が $0$ に等しいとします。

$x - 16 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x = 16$

ステップ 2.6

最終解は $- 12 (x - 4) {(x - 16)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, 16$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x {(16 - x)}^{3}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 4$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$3 (4) {(16 - (4))}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$3$ に $4$ をかけます。

$12 {(16 - (4))}^{3}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$12 {(16 - 4)}^{3}$

ステップ 4.1.2.3

$16$ から $4$ を引きます。

$12 \cdot 12^{3}$

ステップ 4.1.2.4

指数を足して $12$ に $12^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$12$ に $12^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1.1

$12$ を $1$ 乗します。

$12^{1} \cdot 12^{3}$

ステップ 4.1.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12^{1 + 3}$

ステップ 4.1.2.4.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$12^{4}$

ステップ 4.1.2.5

$12$ を $4$ 乗します。

$20736$

ステップ 4.2

$x = 16$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$16$ を $x$ に代入します。

$3 (16) {(16 - (16))}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$3$ に $16$ をかけます。

$48 {(16 - (16))}^{3}$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$48 {(16 - 16)}^{3}$

ステップ 4.2.2.3

$16$ から $16$ を引きます。

$48 \cdot 0^{3}$

ステップ 4.2.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$48 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.5

$48$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(4, 20736), (16, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例