微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$12$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.5

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.6.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.3

$12$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.1.4

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.7.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x^{3} + 12 x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.4.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4.3

$2$ に $12$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{1}$

ステップ 2.4

$3 x^{2} + 24 x - 5$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 24 x - 5$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

ステップ 3.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

ステップ 3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

ステップ 3.4

$24$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5)$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

ステップ 5.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} (0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

ステップ 5.1.3

$24$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 1 \cdot 5)$

ステップ 5.1.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 5)$

ステップ 5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} (0 - 5)$

ステップ 5.3

$0$ から $5$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot - 5$

ステップ 5.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} \cdot (5 (- 1))$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$- 1$

微分積分 例

微分積分例