微分積分例

$f (x) = \ln (\sin^{2} (x))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sin^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin^{2} (x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin^{2} (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 2

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ を $\csc^{2} (x)$ に変換します。

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sin (x)$ とします。

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 4

$2$ を $\csc^{2} (x)$ の左に移動させます。

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

ステップ 6.2

括弧を付けます。

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 6.3

$2 \csc^{2} (x)$ と $\cos (x) \sin (x)$ を並べ替えます。

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

ステップ 6.4

括弧を付けます。

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

ステップ 6.5

$\cos (x)$ と $\sin (x) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

ステップ 6.6

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

ステップ 6.7

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

ステップ 6.8

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

ステップ 6.9

積の法則を $\frac{1}{\sin (x)}$ に当てはめます。

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.11

$\sin (2 x)$ と $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.12

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.13

$\sin (x)$ と $\sin^{2} (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.13.1

$\sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

ステップ 6.13.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.13.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 6.13.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

ステップ 6.13.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 6.14

分数を分解します。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 6.15

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$\frac{2}{1} \cot (x)$

ステップ 6.16

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \cot (x)$

微分積分 例

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