微分積分例

$f (x) = \ln (\sqrt{3 x})$

ステップ 1

くくりだして簡約します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x}$ を ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 1.3

積の法則を $3 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 11

式を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 12

分母を簡約します。

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ステップ 12.1

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 12.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 12.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

ステップ 12.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 12.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{1}}$

ステップ 12.2

$2 x^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 x}$

微分積分 例

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