微分積分例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} + x - 6}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.6.2

$4$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.2.6.3

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

ステップ 1.1.3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

ステップ 1.1.3.3

$x$ が $2$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.4

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{0}{4 + 2 - 1 \cdot 6}$

ステップ 1.1.3.5.1.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{4 + 2 - 6}$

ステップ 1.1.3.5.2

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{6 - 6}$

ステップ 1.1.3.5.3

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.5.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} + x - 6} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x^{2} + x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 1.3.10

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x + 1 + 0}$

ステップ 1.3.11

$2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x + 1}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

ステップ 2.2

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

ステップ 2.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

ステップ 2.4

$x$ が $2$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

ステップ 2.5

$x$ が $2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}$

ステップ 2.6

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}$

ステップ 2.7

$x$ が $2$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

ステップ 3

すべての $x$ に $2$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

ステップ 3.2

$x$ を $2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4}{2 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.1.3

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{2 \cdot 2 + 1}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{4 + 1}$

ステップ 4.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{5}$

ステップ 4.3

$0$ を $5$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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