微分積分例

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 2}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - 3 x - 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 3 x - lim_{x \to - 2} 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.3

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.4

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $10$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.5

すべての $x$ に $- 2$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.2.5.1

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.5.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 - 3 \cdot - 2 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.1.2

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 + 6 - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.1.3

$- 1$ に $10$ をかけます。

$\frac{4 + 6 - 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.2

$4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{10 - 10}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.2.6.3

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.3.1.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 2}$

ステップ 1.1.3.1.2

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x + 2}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 2 + 2}$

ステップ 1.1.3.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 3 x - 10}{x + 2} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.2

総和則では、 $x^{2} - 3 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.4

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.4.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.4.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10]}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.5

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.6

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x + 2]}$

ステップ 1.3.7

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3}{1 + \frac{d}{d x} [2]}$

ステップ 1.3.9

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3}{1 + 0}$

ステップ 1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 2} \frac{2 x - 3}{1}$

ステップ 1.4

$2 x - 3$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 2} 2 x - 3$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $- 2$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to - 2} 2 x - lim_{x \to - 2} 3$

ステップ 2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 3$

ステップ 2.3

$x$ が $- 2$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 3$

ステップ 3

$x$ を $- 2$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot - 2 - 1 \cdot 3$

ステップ 4

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 - 1 \cdot 3$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 4 - 3$

ステップ 4.2

$- 4$ から $3$ を引きます。

$- 7$

微分積分 例

微分積分例