微分積分例

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

ステップ 1.2

$x$ について $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.2.1.1

方程式の両辺から $2 e^{3 x}$ を引きます。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

ステップ 1.2.1.2

$3 e^{3 x}$ から $2 e^{3 x}$ を引きます。

$e^{3 x} = 1$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

ステップ 1.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 1.2.3.1

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{3 x})$ を展開します。

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 1.2.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 1.2.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x = \ln (1)$

ステップ 1.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$3 x = 0$

ステップ 1.2.5

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$3 x = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 1.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 1.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{3}$

ステップ 1.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 1.3

$x = 0$ のとき、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

ステップ 1.3.2

$2 e^{3 (0)} + 1$ を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$y = 2 e^{0} + 1$

ステップ 1.3.2.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$y = 2 \cdot 1 + 1$

ステップ 1.3.2.1.3

$2$ に $1$ をかけます。

$y = 2 + 1$

ステップ 1.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$y = 3$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 3)$

ステップ 2

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

ステップ 3

積分し、 $- 1$ と $0$ の間の面積を求めます。

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ステップ 3.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

ステップ 3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

ステップ 3.3

$2 e^{3 x}$ から $3 e^{3 x}$ を引きます。

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

ステップ 3.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

ステップ 3.5

定数の法則を当てはめます。

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

ステップ 3.7

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.7.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.7.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 3.7.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 3.7.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 3.7.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

ステップ 3.7.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 3.7.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

ステップ 3.7.5

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

ステップ 3.7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

ステップ 3.8

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

ステップ 3.10

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

ステップ 3.11

代入し簡約します。

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ステップ 3.11.1

$0$ および $- 1$ で $x$ の値を求めます。

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

ステップ 3.11.2

$0$ および $- 3$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

ステップ 3.11.3

簡約します。

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ステップ 3.11.3.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

ステップ 3.11.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

ステップ 3.12

簡約します。

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ステップ 3.12.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.12.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

ステップ 3.12.1.2

分配則を当てはめます。

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

ステップ 3.12.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

ステップ 3.12.1.4

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ を掛けます。

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ステップ 3.12.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

ステップ 3.12.1.4.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

ステップ 3.12.1.4.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{e^{3}}$ をかけます。

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 3.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 3.12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 3.12.4

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

ステップ 5

積分し、 $0$ と $2$ の間の面積を求めます。

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ステップ 5.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分配則を当てはめます。

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

ステップ 5.3

$3 e^{3 x}$ から $2 e^{3 x}$ を引きます。

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

ステップ 5.4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

ステップ 5.5

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.5.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.5.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 5.5.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 5.5.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.5.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

ステップ 5.5.5

$3$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = 6$

ステップ 5.5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

ステップ 5.5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

ステップ 5.6

$e^{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

ステップ 5.7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

ステップ 5.8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

ステップ 5.9

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

ステップ 5.10

代入し簡約します。

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ステップ 5.10.1

$6$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

ステップ 5.10.2

$2$ および $0$ で $- x$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

ステップ 5.10.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.3.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

ステップ 5.10.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

ステップ 5.10.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

ステップ 5.10.3.4

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

ステップ 5.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.11.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

ステップ 5.11.1.2

$\frac{1}{3}$ と $e^{6}$ をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

ステップ 5.11.1.3

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

ステップ 5.11.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

ステップ 5.11.2

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 5.11.3

$- 2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.11.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.11.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.5.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

ステップ 5.11.5.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

ステップ 5.11.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

ステップ 6

面積 $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ をたし算します。

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ステップ 6.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.2

$2$ から $7$ を引きます。

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.3

$\frac{e^{6} - 5}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ を掛けます。

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\frac{e^{6} - 5}{3}$ に $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ をかけます。

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.4.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.5.2

指数を足して $e^{6}$ に $e^{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

ステップ 6.5.2.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例