微分積分例

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 9} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

ステップ 1.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{2 x}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.1.4

$a = x$ と $b = 3$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2

公分母を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2.2

$\frac{2 x}{{(x - 3)}^{2}}$ に $\frac{x + 1}{x + 1}$ をかけます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2.3

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}) - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2.4

$\frac{1}{x + 1}$ に $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2.5

$\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - (\frac{8}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3})$

ステップ 2.6

$\frac{8}{(x - 3) (x + 1)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x - 3) (x + 1) (x - 3)}$

ステップ 2.7

$(x - 3) (x + 1) (x - 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) (x - 3) (x - 3)}$

ステップ 2.8

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} (x - 3))}$

ステップ 2.9

$x - 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1})}$

ステップ 2.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{1 + 1}}$

ステップ 2.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x (x + 1)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}} - \frac{8 (x - 3)}{(x + 1) {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x (x + 1) - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - {(x - 3)}^{2} - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.4

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - ((x - 3) (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 4.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x (x - 3) - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.6

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.6.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.6.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.6.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - (x^{2} - 6 x + 9) - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.8

簡約します。

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ステップ 4.8.1

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.8.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.9

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 3}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 4.10

$- 8$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 2 x + 6 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.2

$2 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.3

$x^{2} + 8 x - 9 - 8 x + 24$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.1

$8 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} + 0 - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.3.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 9 + 24}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

ステップ 5.4

$- 9$ と $24$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 15}{{(x - 3)}^{2} (x + 1)}$

微分積分 例

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