微分積分例

$(1 - 4 e^{x}) x^{2}$

ステップ 1

$f (x) = 1 - 4 e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(1 - 4 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(1 - 4 e^{x}) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

ステップ 2.2

$2$ を $1 - 4 e^{x}$ の左に移動させます。

$2 \cdot (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $1 - 4 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ です。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

ステップ 2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

ステップ 2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ をたし算します。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$

ステップ 2.6

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 e^{x}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 1 + 2 (- 4 e^{x})) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

ステップ 4.3.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$2 x - 8 e^{x} x + x^{2} (- 4 e^{x})$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$

ステップ 4.5

$- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$ の因数を並べ替えます。

$- 8 x e^{x} - 4 x^{2} e^{x} + 2 x$

微分積分 例

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