微分積分例

$g (u) = \sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{3} u + \sqrt{5 u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ です。

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d u} [\sqrt{3} u]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $\sqrt{3} u$ の微分係数は $\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u]$ です。

$\sqrt{3} \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

ステップ 2.3

$\sqrt{3}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d u} [\sqrt{5 u}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5 u}$ を ${(5 u)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 u)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [{(5 (u))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

積の法則を $5 (u)$ に当てはめます。

$\sqrt{3} + \frac{d}{d u} [5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$5^{\frac{1}{2}}$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $5^{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 3.10

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.11

$\frac{1}{2}$ と $u^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\sqrt{3} + 5^{\frac{1}{2}} \frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.12

$5^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{u^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}} u^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 3.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $u^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\sqrt{3} + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 u^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{3}$

微分積分 例

微分積分例