微分積分例

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \sin (x)$ および $g (x) = 1 - \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.5

掛け算します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + 1 (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$1 + \sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(1 - \sin (x)) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$1 \cos (x) - \sin (x) \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) \cos (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.1.1

$- \sin (x) \cos (x)$ と $\sin (x) \cos (x)$ をたし算します。

$\frac{1 \cos (x) + 0 + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$1 \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) + 1 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \cos (x)}{{(1 - \sin (x))}^{2}}$

微分積分 例

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