微分積分例

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{2} + 3 x - 1}$ を ${(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 3 x - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 3 x - 1$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 1]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3 + 0)$

ステップ 3.7

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$- {(x^{2} + 3 x - 1)}^{- 2} (2 x + 3)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}} (2 x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x + 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ に $3$ をかけます。

$(- 2 x - 3) \frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$- 2 x - 3$ に $\frac{1}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- (2 x + 3)$ を $- 1 (2 x + 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 3}{{(x^{2} + 3 x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

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