微分積分例

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

ステップ 1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ です。

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} - 3$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x$ を移動させます。

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 7

くくりだして簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.2

$x^{2}$ を $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 7.2.1

$x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ で因数分解します。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

ステップ 7.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ で因数分解します。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

ステップ 8

共通因数を約分します。

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ステップ 8.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 8.3

式を書き換えます。

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

ステップ 9

$9$ と $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ をまとめます。

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.3.1.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

ステップ 10.3.1.2

$- 3$ に $9$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

ステップ 10.3.1.3

$9 (- 3 \cdot - 3)$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1.3.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

ステップ 10.3.1.3.2

$9$ に $9$ をかけます。

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

ステップ 10.3.2

$18 x^{2}$ から $27 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$9$ を $- 9 x^{2} + 81$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1.1

$9$ を $- 9 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

ステップ 10.4.1.2

$9$ を $81$ で因数分解します。

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

ステップ 10.4.1.3

$9$ を $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ で因数分解します。

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

ステップ 10.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

ステップ 10.4.3

$- x^{2}$ と $3^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

ステップ 10.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$

微分積分 例

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